História
da Geometria Analítica
A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada
pelos gregos. Mas, apesar do seu brilhantismo faltava operacionalidade à geometria
grega. E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio
unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso,
somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma
fusão criativa com a geometria.
Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o
toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa
fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat
(1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em
Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse
grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a
matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não
trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de
descobertas simultâneas e independentes.
Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao
Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à
matemática, certamente não era porque faltasse, alguém em sua posição, outras
maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não
conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como
hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta
ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental
na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente,
da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos
números inteiros.
A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto
intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 1636
mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É
que fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso
resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador
da Geometria Analítica.
O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la
Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará
aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus
pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas
matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar
rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa
voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se
ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os
quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza
militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos
e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.
A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A
Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o
marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método
matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.
A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições
deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um
par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo,
sabiam que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste
particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação
algébrica.
Descartes (René Descartes)
O pai da filosofia moderna
René Descartes nasceu na França, de família
nobre, recebeu suas primeiras instruções no colégio jesuíta de La Flèche,
graduando-se em Direito, em Poitier. Foi participante ativo de várias campanhas
militares como a de Maurice, o Príncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano I da
Baviera e a do exército francês no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos maiores
sábios da época como Faulhaber, Desargues e Mersenne e é considerado o "Pai
da Filosofia Moderna.
Em 1637 escreveu seu mais célebre tratado, o "Discurso do Método, onde
expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento e
qualquer fenômeno poderia ser explicado através das forças exercidas pela
matéria contígua. Esta teoria só foi superada pelo raciocínio matemático de
Newton. Suas idéias filosóficas e científicas eram muito avançadas para a época
mas sua matemática guardava características da antigüidade tendo criado a
Geometria Analítica numa tentativa de volta ao passado.
Durante o período em que Descartes permaneceu com o exército bávaro, em 1619,
descobriu a fórmula sobre poliedros que usualmente leva o nome de Euler: v + f
= a + 2 onde v, f e a são respectivamente o número de vértices, faces e arestas
de um poliedro simples. Em 1628 já estava de posse da Geometria Cartesiana que
hoje se confunde com a Analítica, embora es objetivos do autor fossem
diferentes tanto que em seu "Discurso" se mostra imparcial quando
discute os méritos da Geometria e da Álgebra. Seu objetivo era por processos
algébricos libertar a Geometria da utilização de tantos diagramas que fatigavam
a imaginação, e dar significado às operações da Álgebra, tão obscura e confusa
para a mente, através de interpretações geométricas.
Descartes estava convencido de que todas as ciências matemáticas partem do
mesmo princípio básico e aplicando seus conceitos conseguiu resolver o problema
das três e quatro retas de Pappus. Percebendo a eficiência de seus métodos
publicou ''A Geometria", que consta de três livros, onde dá instruções
detalhadas para resolver equações quadráticas geometricamente, por meio de
parábolas; trata das ovais de Descartes importantes em óptica e ensina como
descobrir raízes racionais e achar solução algébrica de equações cúbicas e quadráticas.
Em 1649, convidado pela Rainha Cristina da Suécia, estabeleceu uma Academia de
Ciências em Estocolmo e como nunca gozou de boa saúde não suportou o inverno
escandinavo, morrendo prematuramente em 1650.
Frase
Fermat (Pierre de Fermat)
O príncipe dos amadore
Pierre de
Fermat nasceu no dia 17 de agosto de 1601 em Beaumont-de-Lomages, França, e
morreu no dia 12 de janeiro de 1665 em Castres, França. Foi advogado e oficial
do governo em Toulouse pela maior parte de sua vida. A matemática era o seu
passatempo. Em 1636 Fermat propôs um sistema de geometria analítica semelhante
aquele que Descartes proporia um ano depois. O trabalho de Fermat estava
baseado em uma reconstrução do trabalho de Apollonius, usando a álgebra de
Viète. Um trabalho semelhante conduziu Fermat para descobrir métodos similares
para diferenciação e integração por máximos e mínimos.
Fermat é a mais
lembrado pelo seu trabalho em teoria de número, em particular para o Último
Teorema de Fermat. Este teorema diz que + yn = zn não tem nenhuma solução de
inteiro (não zero) para x, y e z quando n> 2. Fermat escreveu, na margem da
tradução de Bachet de Diofante:
Eu descobri uma
prova verdadeiramente notável, que esta margem é muito pequena conter.
É acreditado agora
que a "prova" de Fermat estava errada embora é impossível estar
completamente certo disso. Foi demonstrada a verdade da afirmação de Fermat em
1993 de junho pelo matemático britânico Andrew Wiles, mas Wiles retirou a
reivindicação de ter uma prova, quando problemas surgiram mais tarde em 1993.
Em novembro 1994 Wiles reivindicou novamente ter uma prova correta. Fracassado,
tentou provar o teorema sobre um período de 300, conduziu à descoberta da
teoria comutativa do anel e uma riqueza de outras descobertas matemáticas. Em uma
correspondência com Pascal ele fundou a teoria matemática da probabilidade.
Mersenne,um
amigo de Fermat que também estava interessado em teoria do número, pertenceu à
ordem religiosa do Minims, e a sua cela em Paris era um lugar de encontro
freqüente para Fermat, Pascal, Gassendi, e outros.
Fermat não publicou
quase nada durante a sua vida, anunciando as suas descobertas em cartas aos
amigos. Às vezes ele anotou resultados nas margens dos seus livros. O trabalho
dele foi largamente esquecido até que foi redescoberto no meio do século 19.
